Supongamos que tiene una muestra de material radiactivo de semivida [matemática] t_ {1/2} [/ matemática] que contiene [matemática] N [/ matemática] átomos. [matemáticas] N [/ matemáticas] será típicamente muy grande, algo así como una fracción del número de Avogadro. La probabilidad de que un átomo determinado decaiga en un intervalo de tiempo de [math] t_ {1/2} [/ math] es 0.5. Por lo tanto, la probabilidad de que decaiga en un intervalo de tiempo [matemática] t [/ matemática] es [matemática] p (t) = 0.5 ^ {t / t_ {1/2}} [/ matemática].
Supongamos que tomamos N átomos radiactivos y esperamos un tiempo t. La probabilidad de que n átomos se hayan desintegrado del N total está dada por la distribución binomial,
[matemáticas] P_B [n; N; t] = (NCn) p (t) ^ n (1-p (t)) ^ {Nn} [/ matemáticas]
donde [math] (NCn) [/ math] es el coeficiente binomial igual a [math] \ frac {N!} {n! (Nn)!} [/ math]
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El número promedio o “esperado” de átomos descompuestos de N en el tiempo t es [matemática] N p (t) [/ matemática]. La varianza en el número de átomos descompuestos es [matemática] N p (t) (1-p (t)) [/ matemática].
Si el tiempo t es suficientemente pequeño, p (t) se vuelve pequeño y la distribución binomial puede ser aproximada por la distribución de Poisson
[matemáticas] P_P [n; \ lambda] = \ frac {\ lambda ^ n} {n!} e ^ {- \ lambda} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] \ lambda = N p (t) [/ matemáticas]. En este límite, tanto el número esperado de desintegraciones como la varianza son [math] \ lambda = Np (t) [/ math].
Para grandes [matemáticas] N [/ matemáticas], la distribución de Poisson tiende a la distribución gaussiana con media [matemática] \ lambda [/ matemática] y varianza [matemática] \ lambda [/ matemática].
[matemáticas] P_G [n; \ lambda] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ lambda}} e ^ {- (n- \ lambda) ^ 2/2 \ lambda} [/ matemáticas]
En la práctica, la distribución gaussiana se usa en los cálculos la mayoría de las veces porque es la más fácil de manejar y porque la diferencia entre eso y la distribución binomial es insignificantemente pequeña.