¿Hay suficiente presión en el núcleo de la tierra para causar la fusión nuclear de algún elemento (s)?

No.

Se necesita un objeto mucho más masivo que la Tierra para poder iniciar la fusión nuclear espontánea. Por ejemplo, una enana marrón es un gigante gaseoso que no tiene suficiente masa para comprimir suficientemente el hidrógeno en su núcleo y, en consecuencia, no se inicia la fusión nuclear.

Las enanas marrones pueden tener hasta 80 veces la masa de Júpiter, y Júpiter tiene una masa que es 317.83 veces mayor que la Tierra. Entonces, con eso, la Tierra necesitaría ser 25,426 veces más masiva de lo que actualmente es el tamaño máximo para una enana marrón, en cuyo momento el núcleo es lo suficientemente denso para la fusión espontánea y luego se convierte en una estrella enana roja.

Las estrellas usan hidrógeno para la fusión porque requiere la presión / temperatura más baja para iniciarse. Cuanto más pesado es el elemento, más energía se necesita para que se someta a fusión (y solo los elementos hasta el hierro pueden crearse mediante la nucleosíntesis estelar, los elementos más pesados ​​deben crearse mediante la nucleosíntesis de supernova).

Entonces no. No hay posibilidad de que ocurra espontáneamente una fusión nuclear dentro del núcleo de la Tierra …

ni siquiera la temperatura del núcleo de tierra es de 5700 K y la presión de 3.6 millones de atm

y la temperatura central del sol 15 Mega Kelvin y una presión de 250 mil millones de atm y eso es solo para fusionar hidrógeno.