La interpretación de la llamada relación de incertidumbre tiempo / energía que existe en la mecánica cuántica no relativista es sutil, y muy a menudo la verás expresada de manera muy imprecisa y discutida de manera inexacta, como de hecho debes haberlo hecho.
Debe tener mucho cuidado con la interpretación de [math] t [/ math] en esta relación.
Entonces su razonamiento es realmente incorrecto desde el principio. Lo que realmente se puede decir sobre la relación general entre el tiempo y la incertidumbre en la energía no permite la aplicación a los fotones que desea hacer.
El principio no puede expresarse precisamente en la forma que intentas escribir, con la interpretación de que [math] t [/ math] es el tiempo ordinario de propagación de un fotón en algún cuadro, mucho menos que [math] t [/ matemática] es el tiempo en el propio marco de descanso del fotón, que es un marco que en realidad ni siquiera existe.
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La razón básica es que resulta que no hay un operador de tiempo que esté canónicamente conjugado con ningún operador hamiltoniano razonable independiente del tiempo, lo que significa que se nos lleva a una contradicción si [math] H [/ math] es un hamiltoniano razonable y [ matemática] T [/ matemática] es un operador que canónicamente se conjuga con [matemática] H [/ matemática]
[matemáticas] \ left \ lbrack H, T \ right \ rbrack = i \ hbar I [/ math]
donde, por supuesto, [math] I [/ math] representa el operador de identidad.
En este caso también tendríamos un operador hamiltoniano independiente del tiempo:
[matemáticas] \ frac {d} {dt} T = I [/ matemáticas],
de modo que dicho operador [matemática] T [/ matemática] sería en efecto un operador de tiempo, definido hasta un múltiplo constante aditivo del operador de identidad.
También podríamos probar la relación de incertidumbre tiempo / energía en la forma que desee, dado que el valor esperado del Hamiltoniano en cualquier estado de un sistema proporciona el valor esperado de la energía del sistema en ese estado.
La relación de incertidumbre en realidad se sigue directamente de esa relación de conmutación y la desigualdad de Schwarz.
Pero resulta por el teorema de Stone-von Neumann, o en realidad, por una formulación más rigurosa del mismo que evita ciertos problemas técnicos, que para los operadores que satisfacen la versión exponencial de la relación de conmutación canónica anterior, que se llaman relaciones de Weyl, que cualquier representación de tal par de operadores es unitariamente equivalente a cualquier otro. Además, tales operadores no pueden ser autoadjuntos y acotados, y tampoco las relaciones de conmutación generalmente pueden representarse en un espacio dimensional finito, excepto por trucos muy especiales.
Es decir: cualquier representación de [math] H [/ math] y [math] T [/ math] sería unitariamente equivalente a una representación de los operadores de posición y momento de conjugación canónica [math] (p, q) [ / math], lo que significa que, en lo que respecta a la mecánica cuántica, simplemente serían exactamente equivalentes a los operadores [math] p [/ math] y [math] q [/ math] aunque podrían estar escritos en una forma ligeramente diferente .
Sin embargo, tanto [math] p [/ math] como [math] q [/ math] son operadores ilimitados desde abajo, y claramente ningún hamiltoniano razonable puede tener esa propiedad.
Entonces, la conclusión es que no puede existir un operador de tiempo.
Para una discusión cuidadosa y correcta de la derivación real de la relación de incertidumbre tiempo / energía y su interpretación, creo que el texto Quantum Mechanics de Albert Messiah es muy bueno. Pero intentaré encontrarle una discusión decente en línea.
Una vez que se incluye la relatividad especial, las ecuaciones de movimiento de una sola partícula, aunque tienen mucho éxito en algunos aspectos, sin embargo, resultan ser básicamente inconsistentes, por lo que la teoría del campo cuántico es realmente necesaria para discutir completamente el caso que le interesa, es decir, el de un fotón. .
Resulta que los operadores análogos a los operadores de posición pueden construirse de hecho en la teoría de campo cuántico, pero sus propiedades son bastante sutiles y no habrá una relación de incertidumbre que permita decir lo que quiere decir sobre un solo fotón.
La combinación de la mecánica cuántica y la relatividad en realidad permite ciertas formas de propagación superluminal, pero solo en estados cuánticos intermedios, nunca para estados de partículas entrantes y salientes reales en la matriz S, como los fotones reales.
Es en el contexto de hablar sobre estos estados intermedios que a menudo verá esas discusiones muy flojas de la naturaleza general a las que me referí, donde cosas engañosas como: “la relación de incertidumbre de Heisenberg en la mecánica cuántica permite que la energía de un fotón sea incierto y es por eso que las partículas virtuales pueden existir y salir y volver al vacío “se escriben y dicen muy a menudo.
Este es un caso en el que las personas siempre deberían poner carteles de precaución en frente de su discusión, tales como:
” Peligro de ahogamiento por delante !!!!
Ahora está entrando en aguas profundas con una fuerte marejada directamente en alta mar. Comprueba las matemáticas reales si realmente quieres entender lo que se supone que significa toda esta charla “.
Todo ese tipo de discusión es básicamente una forma abreviada de explicar y racionalizar la teoría cuántica de campos, por lo que, en cierto sentido, no es tan malo, pero realmente sería mejor si las personas que deberían saberlo mejor no lo hicieran tan a menudo y sin previo aviso, para que las personas que no conocen la teoría empiecen a pensar que puede tomar tales discusiones como un punto de partida real para seguir razonando.
Por supuesto, puede tomar cualquier cosa como punto de partida para su razonamiento, pero luego tiene que poner su razonamiento en forma matemática fría y dura.
Conocí a algunos físicos experimentales e incluso a algunos teóricos que en realidad creían que la energía y el impulso no se conservan exactamente en la teoría del campo cuántico debido a la relación de incertidumbre y tuve que desengañarlos de esta noción por completo y mientras luchaba contra los más extremos. escepticismo, que siempre me sorprende, ya que las personas deberían ser capaces de reconocer con bastante rapidez que realmente no saben de qué están hablando cuando eso se señala de manera suficientemente clara.
La energía y el momento se conservan exactamente en todos los procesos de dispersión en la teoría de campo cuántico, pero teóricamente definir un proceso de dispersión correctamente implica tomar un límite de tiempo infinito.
Ahora, esta afirmación que acabo de hacer sobre la conservación de energía, por supuesto, es una respuesta a una pregunta bastante diferente a esta:
¿Cuáles son los límites prácticos y teóricos a los que realmente podemos medir la energía de algún sistema físico, dado que solo tenemos una cierta cantidad máxima de tiempo [matemática] \ Delta t [/ matemática] para completar la medición?
Y esto último, con respecto al límite teórico, es realmente la cuestión que aborda la relación de incertidumbre tiempo / energía.
Por cierto, esta relación no es en realidad el Principio de incertidumbre de Heisenberg y Heisenberg nunca demostró realmente incluso su propia relación, aunque ciertamente sabía que estaba directamente relacionada con la no conmutatividad de la posición y el momento e inventó el famoso microscopio de Heisenberg en un Intente explicar el principio de incertidumbre. Pero resulta que no estaba exactamente en lo cierto acerca de cómo funcionan las cosas en la mecánica cuántica y, lo que es más importante, en los experimentos, con su experimento gedanken sobre el microscopio.
En realidad, Heisenberg no sabía qué eran las matrices cuando descubrió su relación de incertidumbre entre posición e impulso e inventó la llamada mecánica matricial: Max Born tuvo que educarlo sobre las matrices.
¡Espero que al menos puedan comenzar a ver la diferencia entre la relación de incertidumbre tiempo / energía real y su interpretación de la misma!